Traccia un'ellisse di confidenza di un set di dati bidimensionale #

Questo esempio mostra come tracciare un'ellisse di confidenza di un set di dati bidimensionale, utilizzando il relativo coefficiente di correlazione di Pearson.

L'approccio utilizzato per ottenere la geometria corretta è spiegato e dimostrato qui:

https://carstenschelp.github.io/2018/09/14/Plot_Confidence_Ellipse_001.html

Il metodo evita l'uso di un algoritmo iterativo di decomposizione di eigen e si avvale del fatto che una matrice di covarianza normalizzata (composta da coefficienti e coefficienti di correlazione Pearson) è particolarmente facile da gestire.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Ellipse
import matplotlib.transforms as transforms

La stessa funzione di tracciamento #

Questa funzione traccia l'ellisse di confidenza della covarianza delle variabili di tipo matrice x e y fornite. L'ellisse viene tracciata nel dato asse-oggetto ax.

I raggi dell'ellisse possono essere controllati da n_std che è il numero di deviazioni standard. Il valore predefinito è 3 che fa sì che l'ellisse racchiuda il 98,9% dei punti se i dati sono distribuiti normalmente come in questi esempi (3 deviazioni standard in 1-D contengono il 99,7% dei dati, che è il 98,9% dei dati in 2-D D).

def confidence_ellipse(x, y, ax, n_std=3.0, facecolor='none', **kwargs):
    """
    Create a plot of the covariance confidence ellipse of *x* and *y*.

    Parameters
    ----------
    x, y : array-like, shape (n, )
        Input data.

    ax : matplotlib.axes.Axes
        The axes object to draw the ellipse into.

    n_std : float
        The number of standard deviations to determine the ellipse's radiuses.

    **kwargs
        Forwarded to `~matplotlib.patches.Ellipse`

    Returns
    -------
    matplotlib.patches.Ellipse
    """
    if x.size != y.size:
        raise ValueError("x and y must be the same size")

    cov = np.cov(x, y)
    pearson = cov[0, 1]/np.sqrt(cov[0, 0] * cov[1, 1])
    # Using a special case to obtain the eigenvalues of this
    # two-dimensional dataset.
    ell_radius_x = np.sqrt(1 + pearson)
    ell_radius_y = np.sqrt(1 - pearson)
    ellipse = Ellipse((0, 0), width=ell_radius_x * 2, height=ell_radius_y * 2,
                      facecolor=facecolor, **kwargs)

    # Calculating the standard deviation of x from
    # the squareroot of the variance and multiplying
    # with the given number of standard deviations.
    scale_x = np.sqrt(cov[0, 0]) * n_std
    mean_x = np.mean(x)

    # calculating the standard deviation of y ...
    scale_y = np.sqrt(cov[1, 1]) * n_std
    mean_y = np.mean(y)

    transf = transforms.Affine2D() \
        .rotate_deg(45) \
        .scale(scale_x, scale_y) \
        .translate(mean_x, mean_y)

    ellipse.set_transform(transf + ax.transData)
    return ax.add_patch(ellipse)

Una funzione di supporto per creare un set di dati correlato #

Crea un set di dati bidimensionale casuale con la media bidimensionale (mu) e le dimensioni (scala) specificate. La correlazione può essere controllata dal parametro 'dipendenza', una matrice 2x2.

def get_correlated_dataset(n, dependency, mu, scale):
    latent = np.random.randn(n, 2)
    dependent = latent.dot(dependency)
    scaled = dependent * scale
    scaled_with_offset = scaled + mu
    # return x and y of the new, correlated dataset
    return scaled_with_offset[:, 0], scaled_with_offset[:, 1]

Correlazione positiva, negativa e debole #

Si noti che la forma per la correlazione debole (a destra) è un'ellisse, non un cerchio perché xey sono scalati in modo diverso. Tuttavia, il fatto che x e y non siano correlati è dimostrato dall'allineamento degli assi dell'ellisse con l'asse x e y del sistema di coordinate.

np.random.seed(0)

PARAMETERS = {
    'Positive correlation': [[0.85, 0.35],
                             [0.15, -0.65]],
    'Negative correlation': [[0.9, -0.4],
                             [0.1, -0.6]],
    'Weak correlation': [[1, 0],
                         [0, 1]],
}

mu = 2, 4
scale = 3, 5

fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3))
for ax, (title, dependency) in zip(axs, PARAMETERS.items()):
    x, y = get_correlated_dataset(800, dependency, mu, scale)
    ax.scatter(x, y, s=0.5)

    ax.axvline(c='grey', lw=1)
    ax.axhline(c='grey', lw=1)

    confidence_ellipse(x, y, ax, edgecolor='red')

    ax.scatter(mu[0], mu[1], c='red', s=3)
    ax.set_title(title)

plt.show()
Correlazione positiva, correlazione negativa, correlazione debole

Numero diverso di deviazioni standard #

Un grafico con n_std = 3 (blu), 2 (viola) e 1 (rosso)

fig, ax_nstd = plt.subplots(figsize=(6, 6))

dependency_nstd = [[0.8, 0.75],
                   [-0.2, 0.35]]
mu = 0, 0
scale = 8, 5

ax_nstd.axvline(c='grey', lw=1)
ax_nstd.axhline(c='grey', lw=1)

x, y = get_correlated_dataset(500, dependency_nstd, mu, scale)
ax_nstd.scatter(x, y, s=0.5)

confidence_ellipse(x, y, ax_nstd, n_std=1,
                   label=r'$1\sigma$', edgecolor='firebrick')
confidence_ellipse(x, y, ax_nstd, n_std=2,
                   label=r'$2\sigma$', edgecolor='fuchsia', linestyle='--')
confidence_ellipse(x, y, ax_nstd, n_std=3,
                   label=r'$3\sigma$', edgecolor='blue', linestyle=':')

ax_nstd.scatter(mu[0], mu[1], c='red', s=3)
ax_nstd.set_title('Different standard deviations')
ax_nstd.legend()
plt.show()
Diverse deviazioni standard

Usando gli argomenti della parola chiave #

Utilizzare gli argomenti della parola chiave specificati per matplotlib.patches.Patchper rendere l'ellisse in modi diversi.

fig, ax_kwargs = plt.subplots(figsize=(6, 6))
dependency_kwargs = [[-0.8, 0.5],
                     [-0.2, 0.5]]
mu = 2, -3
scale = 6, 5

ax_kwargs.axvline(c='grey', lw=1)
ax_kwargs.axhline(c='grey', lw=1)

x, y = get_correlated_dataset(500, dependency_kwargs, mu, scale)
# Plot the ellipse with zorder=0 in order to demonstrate
# its transparency (caused by the use of alpha).
confidence_ellipse(x, y, ax_kwargs,
                   alpha=0.5, facecolor='pink', edgecolor='purple', zorder=0)

ax_kwargs.scatter(x, y, s=0.5)
ax_kwargs.scatter(mu[0], mu[1], c='red', s=3)
ax_kwargs.set_title('Using keyword arguments')

fig.subplots_adjust(hspace=0.25)
plt.show()
Utilizzo di argomenti di parole chiave

Riferimenti

L'uso delle seguenti funzioni, metodi, classi e moduli è mostrato in questo esempio:

Tempo di esecuzione totale dello script: (0 minuti 1,609 secondi)

Galleria generata da Sphinx-Gallery